第8章一元一次不等式1

8.1认识不等式1

8.2解一元一次不等式3

1．不等式的解集3

2．不等式的简单变形4

3．解一元一次不等式6

8.3一元一次不等式组8

小结11

复习题12

A组12

B组12

C组13

第8章一元一次不等式

8.1认识不等式

问题1

世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。某班有27名少先队员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？

那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？

我们不妨一起来算一算：

买27张票，要付款

5×27＝135（元）

买30张票，要付款

4×30＝120（元）

显然120<135

这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上反而节省了。

当然，如果去世纪公园的人数较少（例如10个人），显然不值得去买30张票，还是按实际人数买票为好。现在的问题是：至少要有多少人去世纪公园，多买票反而合算呢？

探索

我们一起来分析上面提出的问题。

设有x人要进世纪公园，如果x≧30，显然按实际人数买票，每张票只要付4元。如果x<30，那么：

按实际人数买票x张，要付款5x（元）

买30张票，要付款4×30＝120（元）

如果买30张票合算，那么应有

120<5 x

现在的问题就是：x取哪些数值时，上式成立？

前面已经算过，当x＝27时，上式成立。让我们再取一些值试一试，将结果填入下表。

由上表可见，当x＝___________时，不等式120<5x成立。也就是说，少于30人时，至少要有_____人进公园时，买30张票反而合算。

概括

像上面出现的120<135，x<30，120<5x那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality）。

不等式120<5x中含有未知数x。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（solution of inequality）。

如上例中，x＝25，26，27，…都是不等式120<5x的解，而x＝24，23，22，21则不是它的解。

例用不等式表示：

（1）x的一半小于－1（2）y与4的和大于0.5

（3）a是负数；（4）b是非负数；

解 （1）x<－1

（2）y＋4>0.5

（3）a<0

（4）b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b>0或b＝0，通常可表示成b≥0。

练习

1．用不等式表示：

（1）x的3倍大于5；（2）y与2的差小于－1。

（3）x的2倍大于x；（4）y的与3的差是负数。

（5）a是正数；（6）b不是正数；

2．用“<”或“>”号填空：

（1）7＋3________4＋3；（2）7＋（－1）______4＋（－1）；

（3）7×3________4×3；（4）7×（－3）______4×（－3）。

3．下列各数中，哪些是不等式x＋2>5的解？哪些不是？

－3，－2，－1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7。

习题8.1

1．比较下列各数的大小，用“<”或“>”填空：

（1）－3______-2；（2）－1______0；

（3）3______－4；（4）－5______－6；

（5）______；（6）－______－。

2．用不等式表示：

（1）x的与3的差大于2；                （2）2x与1的和小于零；

（3）a的2倍与4的差是正数；             （4）b的与c的和是负数；

（5）a与b的差是非负数；                 （6）x的绝对值与1的和不小于1。

3．向阳小队10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始两天，每人每天完成5本杂志。问以后3天，每人每天必须完成几本杂志，才能超额完成300本杂志的装订任务？试列出不等式，找出符合题意的一些解。

8.2解一元一次不等式

1. 不等式的解集

回忆

在上一节练习第3题中，我们发现，－3、－2、－1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x＋2>5的解。由此可以看出，不等式x＋2>5有许多个解。

进而看出，大于3的每一个数都是不等式x＋2>5的解，而不大于3的每一个数都不是不等式x＋2>5的解。由此可见，不等式x＋2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x＋2>5的解集。

概括

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集（solution set）。

研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式（solving inequality）。

不等式x＋2>5的解集，可以表示成x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.1所示。

同样，如果某个不等式的解集为x≤－2，也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.2所示。

练习

1. 根据“当x为任何正数时，都能使不等式x＋3>2成立”，能不能说“不等式x＋3>2的解集是x>0”？为什么？
2. 两个不等式的解集分别为x<2和x≤2，它们有什么不同？在数轴上怎样表示它们的区别？
3. 两个不等式的解集分别为x<1和x≥1，分别在数轴上将它们表示出来。

2. 不等式的简单变形

回顾与探索

在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。在研究解不等式时，我们同样应先探究不等式的变形规律。

如图8.2.3所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然a>b），如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么盘子仍然像原来那样倾斜（即a＋c>b＋c）。

概括

不等式的性质1如果a>b，那么

a＋c>b＋c，a－c>b－c

这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变。

思考

不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？

试一试

将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”或“>”填空：

7×3_______4×3，

7×2_______4×2，

7×1_______4×1，

7×0_______4×0，

7×（－1）_______4×（－1），

7×（－2）_______4×（－2），

7×（－3）_______4×（－3），

………………………………………………

从中你能发现什么？

概括

不等式的性质2如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。

不等式的性质3如果a>b，并且c<0，那么ac<bc。

这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a或x<a的形式。

例1解不等式：

（1）x－7<8（2）3x<2x-3

解（1）不等式的两边都加上7，不等式的方向不变，所以

x－7＋7<8＋7，

得