一元一次方程教学设计教案

一元一次方程  教学设计

教学设计思想：

复习本章的知识需二课时。本章的主要内容是让学生初步认识到方程与现实世界的密切联系，认识到列方程就是建立数学模型；掌握解一元一次方程的基本步骤和列方程解应用题的方法。复习时注意重点及难点的加强，重点是一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题；难点是根据具体问题中的数量关系列一元一次方程，我们就安排了一个课时的时间来加强巩固。在与学生一起复习时，注意让学生知道学好本章的关键在于理解方程及方程的解的概念和等式的性质，了解算术和代数的主导思想的区别及找准问题中的等量关系。

教学目标：

1．知识与技能

叙述方程及一元一次方程的概念；

掌握等式的性质、合并同类项法则、去括号法则及其应用。

利用等式的性质、合并、去括号法则解一元一次方程；

用一元一次方程解决实际问题，提高分析问题、解决问题的能力。

2．过程与方法

经历“把实际问题抽象成数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步；

能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”。

3．情感、态度与价值观

通过学习本章知识，建立数学建模的思想；

认识到数学与实际生活的密切联系。

教学重点：一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题。

教学难点：根据具体问题中的数量关系列一元一次方程。

教学方法：引导式。

教学安排：2课时。

教具准备：投影仪。

第一课时

教学过程：

一、知识回顾

主要的概念：

1．方程的概念

含有未知数的等式叫方程。

2．一元一次方程的概念

只含有一个未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

3．方程的解

使方程中等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

4．解方程

求方程的解的过程叫做解方程。

主要性质

1．等式的性质

等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。

2．合并同类项法则

同类项相加（减），把它们的系数相加（减）作为结果的系数，字母部分不变。

3．去括号法则

（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。

（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。

二、例题讲解

例1 判断下列各式哪些是方程？哪些是等式？

（1）3—2=1  （2） 3x+y=2y+x   （3）2x-4=0    （4）x²+2x+1。

分析：只要用等号连接的式子就是等式，其中含有未知数的是方程。

解：（1）是等式；（2）、（3）是方程；（4）既不是方程也不是等式。

例2 用适当的形式填空，使所得的结果仍是等式；并说明是根据等式的哪条性质以及怎么变形的？

（1）若x+3=4，则x=4+______;

（2）若—2x=6，则x=_____;

解：（1）—3；根据等式性质1，等式两边同时加上（-3）或等式两边同时减去3，所得结果仍是等式。

（2）-3；根据等式性质2，等式两边同时乘以-或等式两边同时除以-2，所得结果仍是等式。

例3  检验x=-1是不是一下方程的解？

（1）+2x+1=0  

（2）-2x=-1    

解：把x=-1代入方程，

左边=+2×（-1）+1

=1-2+1

=0，

右边=0，

∵ 左边=右边，

∴ x=-1是方程+2x+1=0的解。

（2）把x=-1代入方程，

左边=-2×（-1）

=1+2

=3，

右边=-1，

∵ 左边≠右边，

∴ x=-1不是方程-2x=-1的解。

例4  张先生买了一只旅行水瓶，用去了身边所带钱数的一半加1元；接下来买了一大包食品，用去了剩余钱数的一半加2元，然后再买了一大瓶饮料，用去了剩余钱数的一半加3元，最后只剩1元钱，请问张先生买的几样东西的价钱各是多少呢？

分析：张先生买东西的过程中，都是和钱数有关系的，所以可以设张先生身边所带的钱数为x，则他三次花的钱数（x+1）元，剩余钱数是（x-1）；第二次花的钱数是（）元，剩余钱数是（）；第三次花的钱数是（），剩余的钱数是1元。等量关系为“用全部的钱数减去三次所花钱数就等于1元”。

解：设张先生身边所带钱数为x元，则根据题意得

x-（x+1）-（）-（）=1

x-x-1--=1

，

x=42。

∴ （元），（元），（元）。

答：张先生买的旅行水瓶的价格是22元，食品的价格是12元，饮料的价格是7元。

点评：在实际问题中，找一个中间量，就可以把其他的量联系起来，从而列出方程。如果这个中间量不利用，是很难解决的，方程是解决问题的工具。

三、总结提炼

要充分理解方程等相关概念，解一元一次方程时要注意：1.分母是小数时，根据分数的基本性质，分子、分母都扩大相同的倍数，把分母转化成整数，此时和不含有分母的项无关，不要和去分母相混淆；2.去括号时，不要漏乘括号内的项，要依据法则，不要弄错符号；3. 移项时，切记要变号，不要丢项。

四、布置作业

1、2、3．

板书设计：

第二课时

教学过程：

一、复习导入

师：我们回忆列方程解应用题的一般步骤，应该注意哪些问题？

请学生回答，其他同学补充。

师：本节课我们就利用这些步骤进一步解决一些实际问题。

二、讲授新课

（出示投影）

例1 某旅游团从宾馆出发去风景点A参观游览，在A景点停留1小时后，又绕道去风景点B，再停留半小时后返回宾馆。去时的速度是5千米/时，回来的速度是路程比去时多2千米，求去时的路程。

分析：这个题目看起来比较麻烦，但是仔细观察就会发现题目里要求得也只是一个未知数，即去时的路程，而题目的等量关系是：去的时间+回来的时候+停留的时间=共用的时间。在这里“去的时间”是未知的，如果直接设去时的路程为x千米，那么回来时的路程就是（x+2）千米，去时路上所需时间是小时，回来时路上所需时间是。根据题意，得

++1+=6.5

解方程，得  x=10。

例2  有两个矩形，第一个矩形的长、宽和第二个矩形的长、宽之比顺次为5：4：3：2，第一个矩形的周长比第二个周长大72厘米，求这两个矩形的面积。

分析：很明显，如果采用直接设立未知数的方法，把这两个矩形的面积选作未知数，那么方程是不容易列出来的。注意到矩形的面积等于它的长乘以宽，而长与宽的关系可以从题目中给出的条件找到，那么可以采用间接设立未知数的方法，先求出它的长与宽，然后再求它们的面积。

解法1：设第一个矩形的长为5x厘米，它的宽为4x厘米，第二个矩形的长为3x厘米，宽为2x厘米。根据题意，得

2(5x+4x)—2(3x+2x)=72

解法2：设第一个矩形的长为x厘米，它的宽为厘米，第二矩形的长为厘米，宽为厘米，根据题意，得

2(x+)-2(+)=72.

解法3：设第一个矩形的长为x厘米，它的宽为y厘米，第二个矩形的长为x厘米，宽为w厘米。根据题意，得

x：y：z：w=5：4：3：2，

2(x+y)-2(z+w)=72

例3  某校举行数学竞赛选拔赛，淘汰总参赛人数的，已知选拔最低分数线比总人数的平均分少2分，比被选中学生平均分数少11分，并且等于淘汰人数的平均分数的2倍，求选拔最低分数线为多少？

分析：从题目中分析，此题的等量关系是：所有学生的总分数=被选拔学生的分数+被淘汰学生的分数，而要求各类分数，必须知道各类学生数。因此在设选拔最低分数为x分的同时，设被淘汰的人数为m人，那么总人数为4m人，选中的学生数为3m人。这里的m是一个辅助未知数，不必求出它的结果，一般在解题过程当中可消掉。

根据题意，得

4m(x+2)=3m(x+11)+m()

解方程，得

x=50。

答：选拔最低分数为50分。

例4  某商店有甲、乙两种钢笔共143只，甲种钢笔每只6元，乙种钢笔每只3.78元，某学校购了该商店的全部乙种钢笔和部分甲种钢笔，经过核算后，发现应付款的总数与甲种钢笔的总数无关，问购买的甲种钢笔是该商店甲种钢笔总数的百分之几？

分析：在“买甲种钢笔付款+买乙种钢笔付款=总付款数”的等量关系中，涉及到甲种钢笔总数和付款总数，因此可以选择它们作为辅助未知数。

设购买甲种钢笔占甲种钢笔的百分之比为x，甲种钢笔总数为m只，付款总数为T元，根据题意，得

T=6xm+3.78(143-m)

=(6x-3.78)m+3.78×143

因为 T与m无关，

所以 6x-3.78=0。

即  x=0.63=63%。

答：购买的甲种钢笔是该店甲种钢笔总数的63%。

三、总结提炼

一元一次方程是最简单的方程。结合例子体验：运用方程解决问题，关键是分析问题中的数量关系，找出其中的相等关系，并由此列出方程。结合生活、学习和生产中的实例，体会运用方程解决实际问题的一般过程。

四、布置作业

复习题2   4、5、6

板书设计：